Question

如图，抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题

如图，抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S △PAB =8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0）， ∴ (-1 ) 2 -b+c=0 3 2 +3b+c=0 解得 b=-2 c=-3 ． ∴所求解析式为y=x 2 -2x-3． （2）设点P的坐标为（x，y）， 由题意：S △PAB = 1 2 ×4|y|=8， ∴|y|=4， ∴y=±4． 当y=4时，x 2 -2x-3=4， ∴x 1 =2 2 +1，x 2 =-2 2 +1； 当y=-4时，x 2 -2x-3=-4，∴x=1， ∴满足条件的点P有3个， 即（2 2 +1，4），（-2 2 +1，4），（1，-4）． （3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小． ∵AC长为定值， ∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小， ∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是（3，0）， ∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点， 设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把B（3，0）代入， ∴3k-3=0， ∴k=1， ∴直线BC的解析式为y=x-3， 把x=1代入上式， ∴y=-2， ∴Q点坐标为（1，-2）．