Question

如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．（1）

如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．（1）求AO、AB所在直线的函数解析式；（2）在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，请求出这个正方形四个顶眯的坐标，并在图中画出这个正方形；（3）连接OC，在线段OC上任取一点P，过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点，过M作OB边的垂线与OB交于H；你有什么发现？请写出来，并说明理由．

Answer 1

（1）设OA所在直线的解析式为：y=k 1 x， 把A（4，6）代入得4k 1 =6，∴ k 1 = 3 2 ∴AO所在直线的解析式为： y= 3 2 x （2分） 设AB所在直线的解析式为：y=k 2 x+b， 把A（4，6）、B（6，0）代入得 4 k 2 +b=6 6 k 2 +b=0 ， 解得 k 2 =-3 b=18 ， ∴AB所在直线的解析式为：y=-3x+18．（4分） （2）过A作AS⊥OB于S，交CD于T． ∵DC ∥ EF， ∴△ADC ∽ △AOB， ∴ AT AS = CD OB ． ∵A（4，6），B（6，0）， ∴OB=6，AS=6， AT 6 = CD 6 ， ∴AT=DC=TS=3，故可设D（x，3）， ∵D（x，3）在 y= 3 2 x 的图象上， ∴x=2，故D（2，3），（6分） 可设C点的坐标为（x，3） ∵CD=3， ∴x-2=3，即x=5， ∴C（5，3），（7分） 又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF， ∴E、F两点的坐标分别为：E（2，0）、F（5，0）．（8分） （3）四边形MHNP是矩形．（9分） ∵DC ∥ PM，PN ∥ FC ∴ MP DC = OP OC ， PN CF = OP OC （10分） ∴ MP DC = PN CF ． 又∵四边形EFCG是正方形，DC=CF． ∴MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB， ∴四边形MHNP是正方形．（12分）