Question

在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2

在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2．

Answer 1

证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°， ∴B=60°，C=120°-A． 由正弦定理得 a sinA = c sinC = 1 sin60° ， 再由合分比定理得： a+c= 2 3 3 （sinA+sinC） = 2 3 3 [sinA+sin（120°-A）] =2sin（A+30°）≤2， 再由两边之和大于第三边， ∴1＜a+c． ∴1＜a+c≤2． 证法二：先得B=60°（同上得）． 再利用余弦定理知cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac ，即 1 2 = a 2 + c 2 - b 2 2ac ， 即（a+c） 2 -1=3ac≤3（ a+c 2 ） 2 ． 解得a+c≤2． 又∵a+c＞1， ∴1＜a+c≤2．