Question

已知函数 ．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调增区间；（2）若f（x）＜g（x）在区

已知函数 ．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调增区间；（2）若f（x）＜g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=2ax+ （x∈（0，+∞）） ∵函数f（x）在x=1处取得极值， ∴f′（x）=0，∴2a+1=0， ∴ ∴f′（x）=﹣x+ 令f′（x）＞0，x＞0可得0＜x＜1 ∴函数f（x）的单调增区间为（0，1）； （2）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）， 则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=2ax+ ﹣x﹣2a= 若a≥1，则x＞1时，F′（x）＞0，函数在（1，+∞）上单调增，F（x）＜0不恒成立； 若 ＜a＜1，则函数在（1， ）上F′（x）＜0，在（ ，+∞）上F′（x）＞0， ∴F（x）＜0不恒成立； 若a ，则x＞1时，F′（x）＜0，函数在（1，+∞）上单调减， 故只需要F（1）≤0 ∴a﹣ ﹣2a≤0 ∴a≥﹣ ∴