Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0）其顶点为D，连接BD

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0）其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF在这条抛物线上是否存在一点Q，使得直线EF为线段PQ的垂直平分线？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），
∴

0=a-b+3 0=9a+3b+3

解得

a=-1 b=2

，
抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）设BD的解析式为y=kx+b，则有

0=3k+b 4=k+b

解得

k=-2 b=6

，
∴BD的解析式为：y=-2x+6，
∵P的坐标为（x，y），
∴P的坐标为（x，-2x+6），
∴PE=x，
∴S=

(x+3)(-2x+6)

2

-

3(-2x+6)

2

，
∴S=-x²+3x   （1＜x＜3），
S=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴S的最大值为

9

4

．

（3）不存在．
当x=

3

2

时，y=-2×