Question

在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是BC的中点，点E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF．（1）求证：BE2+CF2

在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是BC的中点，点E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF．（1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积．

Answer 1

（1）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，

ED＝PD ∠EDB＝∠PDC BD＝CD

，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CPD，
在△EDF和△PDF中，

DE＝DP ∠EDF＝∠PDE＝90° DF＝DF

，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴EF²=BE²+CF²；
（2）连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，

∠EAD＝∠FCD AD＝DC ∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF=

AE2+AF2

=13，
设DE=DF=x，
根据勾股定理得：x²+x²=13²，
解得：x=