Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数

如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．

Answer 1

解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM=

1

2

∠QCM=45°．