Question

在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）设bn=an-n，求数列{bn}的通项公式；（2）设数列an

在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）设bn=an-n，求数列{bn}的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，证明：对任意的n∈N*，不等式Sn+1≤4Sn恒成立．

Answer 1

（1）∵b_n+1=a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4（a_n-n）=4b_n（3分）
且b₁=a₁-1=1（14分）∴b_n为以1为首项，以4为公比的等比数列∴b_n=b₁q^n-1=4^n-1（5分）
（2）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（6分）∴Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

（8分）
∴Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4[

4n-1

3

+

n(n+1)

2

]=-

1

2

(3n+4)(n-1)≤0（11分）
∴不等式S_n+1≤4S_n对任意的n∈N^*皆成立（12分）