Question

已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列（Ⅰ）若an=3n+1，是否存在m，k∈N*，有am+am+1=a

已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列（Ⅰ）若an=3n+1，是否存在m，k∈N*，有am+am+1=ak？请说明理由；（Ⅱ）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bm?bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件．

Answer 1

（Ⅰ）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，整理后，可得k?2m＝

4

3

，
∵m、k∈N，∴k-2m为整数，∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（Ⅱ）当m=1时，则b₁?b₂=b_k，
∴a²?q³=aq^k，
∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整数．
反之当a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则bn＝qn+c，
显然bm?bm+1＝qm+c?qm+1+c＝q2m+1+2c＝bk，其中k=2m+1+c．
∴a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数．