Question

如图16，在三角形ABC中，∠ACB=90度，AC=BC，D为AB的中点，点E,F分别在AC,BC的延长线上，且ED垂直DF,

连接EF.
（1）求证DE=DF
（2）当∠DEC=15度，BF=1cm时，求EF的长

Answer 1

（1）证明：连接CD
因为角ACB=90度
AC=BC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
因为D为AB的中点
所以CD是等腰直角三角形ABC的中线，垂线,角平分线
所以角ABC=45度
CD=BD
角BDC=角BDE+角CDE=90度
角ACD=角BCD=1/2角ACB=45度
因为DE垂直DF
所以角EDF=角BDE+角BDF=90度
所以角CDE=角BDF
因为角ACD+角DCE=180度
所以角DCE=135度
因为角ABC+角DBF=180度
所以角DBF=135度
所以角DCE=角DBF=135度
所以三角形DCE和三角形DBF全等（ASA)
所以DE=DF
(2)解：因为三角形DCE和三角形DBF全等（已证）
所以角DEC=角DFC
CE=BF
因为角EDF=90度
DE=DF（已证）
所以三角形EDF是等腰直角三角形
所以角DFE=角DFC+角CFE=45度
因为角DEC=15度
所以角DFC=15度
所以角CFE=45-15=30度
因为BF=1cm
所以CE=1cm
因为角ACB+角ECF=180度
角ACB=90度
所以角ECF=90度
所以三角形ECF是直角三角形
所以EC=1/2EF（在直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半）
所以EF=2cm