Question

（2012?常德）如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作

（2012?常德）如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）四边形BOAD是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-∠BAC）=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴∠OAC=120°-30°=90°，
即OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）证明：连接AE，
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，
∴由圆周角定理得：∠AEB=

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∠AOB=60°，
∵D、B、E、A四点共圆，
∴∠D+∠AEB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA=180°，
∴∠DAO=60°，
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°，
即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，
∴四边形BOAD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴平行四边形BOAD是菱形．