Question

如图，已知正方形ABCD．（1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D

如图，已知正方形ABCD．（1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分别是点B，C，D的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）设CD与B′C′相交于O点，求证：OD=OB′；（3）若正方形的边长为 ，求两个正方形的重叠部分（四边形AB′OD）的面积．

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Answer 1

解：（1）                                （2）连结B′D． ∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋转得到，∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°， ∴∠ADB′=∠AB′D，∴∠ODB′=∠OB′D，∴OD=OB′． （3）连结AC．∵正方形ABCD，∴∠CAB=45°． 由题意知∠BAB′=45°，∴∠CAB=∠BAB′， 即B′在AC上，∴△OB′C是等腰直角三角形． 设OD=OB′=x，则OC= ． ∵CD= ，∴ ，∴x=1． ∴S 四边形 A B′OD =S △A CD -S △ B′CO = ．

（1）利用旋转的特征即可作出图形； （2）根据旋转的特征，可得AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，根据等边对等角得到∠ADB′=∠AB′D，所以∠ODB′=∠OB′D，再由等角对等边得到OD=OB′． （3）先说明△OB′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可以求得OB′的长， 所以S 四边形 A B′OD =S △A CD -S △ B′CO=