Question

（2013?兰州一模）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A，O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙

（2013?兰州一模）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A，O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E，F，交AB于点C．（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？（2）连接AE，AF，如果AF＝FB，求证：AF2=CF?FE（3）在（2）的条件下，已知CF=8，FE=25，若点D是半径OA的中点，求⊙O的面积．





Answer 1

（1）HB为圆O的切线，理由为：
证明：连接OB，
∵HC=HB，
∴∠HBC=∠HCB，
∵∠HCB=∠ACD，
∴∠HBC=∠ACD，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CD⊥OA，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠HBC+∠OBA=90°，即∠OBH=90°，
∴HB为圆O的切线；

（2）证明：∵

AF

=

FB

，
∴∠FAB=∠E，
∵∠AFC=∠EFA，
∴△ACF∽△EAF，
∴

AF

EF

=

FC

AF

，即AF²=FC?EF；

（3）解：由（2）的结论得：AF²=FC?EF=8×25=200，
解得：AF=10

2

，
∵OA⊥EF，∴D为EF的中点，
∴FD=ED=

1

2

EF=

25

2

，
∵D为半径r的中点，
∴AD=

1

2

r，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得：AF²=AD²+FD²，
即200=

1

4

r²+

625

4

，
解得：r=5

7

，
则圆O的面积为175π．