Question

一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点在x轴上且短

一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点在x轴上且短轴长为8，求椭圆的标准方程．

Answer 1

（1）∵长轴长、短轴长和焦距成等差数列
∴2b=a+c，平方得4（a²-c²）=（a+c）²
化简得5c²+2ac-3a²=0，解之得c=

3

5

a
因此，该椭圆的离心率e＝

c

a

＝

3

5

；
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
由（1）得2b=8，得b=4=

a2?c2

结合c=

3

5

a，解得a=5
∴椭圆的标准方程是

x2

25

+

y2

16

＝1．