Question

已知 tan( π 4 +α)= 1 2 ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求 sin2α- cos 2 α

已知 tan( π 4 +α)= 1 2 ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求 sin2α- cos 2 α 1+cos2α 的值．

Answer 1

（Ⅰ） tan( π 4 +α)= tan π 4 +tanα 1-tan π 4 tanα = 1+tanα 1-tanα ， 由 tan( π 4 +α)= 1 2 ，有 1+tanα 1-tanα = 1 2 ，解得 tanα=- 1 3 ； （Ⅱ）解法一： sin2α- cos 2 α 1+cos2α = 2sinαcosα- cos 2 α 1+2 cos 2 α-1 = 2sinα-cosα 2cosα =tanα- 1 2 =- 1 3 - 1 2 = 5 6 ． 解法二：由（1）， tanα=- 1 3 ，得 sinα=- 1 3 cosα ∴ si n 2 α= 1 9 co s 2 α 1-co s 2 α= 1 9 co s 2 α ，∴ co s 2 α= 9 10 于是 cos2α=2co s 2 α-1= 4 5 ， sin2α=2sinαcosα=- 2 3 co s 2 α=- 3 5 代入得 sin2α- cos 2 α 1+cos2α = - 3 5 - 9 10 1+ 4 5 =- 5 6 ．