Question

已知F为抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|最

已知F为抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）若直线x-y-3=0与抛物线交于B、C两点，求△BFC的面积．

Answer 1

（1）设d为点P到 x=- p 2 的距离，则由抛物线定义，|PF|=d， ∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，即 4+ p 2 =8 ，解得p=8． ∴抛物线的方程为y 2 =16x． （2）设B（x 1 ，y 1 ），C（x 2 ，y 2 ），联立 x-y-3=0 y 2 =16x 得y 2 -16y-48=0， 显然△＞0，y 1 +y 2 =16，y 1 y 2 =-48． ∴ | y 1 - y 2 |= ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 = 16 2 +4×48 =8 7 ， ∴ |BC|= 2 | y 1 - y 2 |=8 14 ． 又∵F（4，0）到直线l的距离为 |4-3| 2 = 2 2 ， ∴ S △BFC = 1 2 |BC|?d= 1 2 ×8 14 × 2 2 =4 7 ．