Question

已知函数 f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x

已知函数 f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）的单调区间．（2）设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

（1）求导函数，可得 f′(x)= 1 x -2 （x＞0），则f′（1）=-1，f（1）=-2 ∴切线方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1 f′(x)= 1 x -2 （x＞0）， 令 f′(x)= 1 x -2＞0 ，得 0＜x＜ 1 2 ；令 f′(x)= 1 x -2＜0 ，得 x＞ 1 2 故函数f（x）的单调递增区间为 (0， 1 2 ) ，单调减区间是 [ 1 2 ，+∞) ． （2）①当 1 a ≤1 ，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数， ∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分） ②当 1 a ≥2 ，即 a≤ 1 2 时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数， ∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分） ③当 1＜ 1 a ＜2 ，即 1 2 ＜a＜1 时，函数f（x）在 [1， 1 a ] 上是增函数，在 [ 1 a ，2] 是减函数． 又f（2）-f（1）=ln2-a， ∴当 1 2 ＜a＜ln2 时，最小值是f（1）=-a； 当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a． 综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x） min =-a； 当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x） min =ln2-2a． 即 g(a)= -a，…0＜a＜ln2 ln2-2a，…a≥ln2 （14分）