Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），则

0＝9a?3b+2 0＝a+b+2

解这个方程组，得a=-

2

3

，b=-

4

3

．
∴二次函数的关系解析式为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2．

（2）设点P坐标为（m，n），则n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
当x=0时，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，所以OC=2
S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO?PM+

1

2

CO?PN-

1

2

AO?CO
=

1

2

×3?（-

2

3

m²-

4

3

m+2）+

1

2

×2?（-m）-

1

2

×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函数S_△PAC=-m²-3m有最大值
当m=-

b

2a

=-

3

2

时，S_△PAC有最大值．
此时n=-

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