Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，若不等式x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2＜0对区间（-∞，0）内任意两

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，若不等式x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf（2x）＜0解集是______．

Answer 1

解：∵

x1f(x1)?x2f(x2)

x1?x2

＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，
∴函数g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递减，
又 f（x）为奇函数，∴g（x）=xf（x）为偶函数，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（-1）=g（1）=0，
作出g（x）的草图如图所示：
xf（2x）＜0即2xf（2x）＜0，g（2x）＜0，
由图象得，-1＜2x＜0或0＜2x＜1，解得-

1

2

＜x＜0或0＜x

1

2

，
∴不等式xf（2x）＜0解集是（?

1

2

，0）∪（0，

1

2

），
故答案为：（?

1

2

，0）∪（0，

1

2

）．