Question

（2013?东城区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E

（2013?东城区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E．（1）求证：AM=2CM；（2）若∠1=∠2，CD＝23，求ME的值．

Answer 1

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形．
∴BC∥AD．
∴△CFM∽△ADM．
∴

CF

AD

=

CM

AM

，
∵F为边BC的中点，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

AD，
∴

CF

AD

=

CM

AM

=

1

2

．
∴AM=2MC；

（2）∵AB∥DC，
∴∠1=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠4．
∵ME⊥CD，
∴CE=

1

2

CD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4．
∵F为边BC的中点，
∴CF=

1

2

BC．
∴CF=CE，
∵在△CMF和△CME中，

CE＝CF ∠3＝∠4 CM＝CM

，
∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴∠CFM=∠CEM=90°．
∵∠2=∠3=∠4，
∴∠2=∠3=∠4=30°．
∴

ME

CE

=

3

3

．
∵CD=2CE=2

3

，
∴CE=

3

，
∴ME=1．