Question

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B。 （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值。

Answer 1

解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（-2，-1）坐标代入得k= ， 所以正比例函数的解析式为 ， 同样可得，反比例函数解析式为 ； （2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为 ，  于是 ， 而 ，   所以有 ，解得 ，   所以点Q的坐标为 和 ； （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC， 而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长， 所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值， 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以点Q的坐标为 ， 由勾股定理可得 ， 所以当 即 时， 有最小值4， 又因为OQ为正值，所以OQ与 同时取得最小值， 所以OQ有最小值2， 由勾股定理得OP= ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 。