Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求二面角P-CD-B的大小

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求二面角P-CD-B的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD；（3）求点P到平面MND的距离．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵PD、CD是平面PCD内的相交直线， ∴CD⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，可得CD⊥PD， 因此，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角 ∵Rt△PAD中，PA=AD=2，∴∠PDA=45°， 即二面角P-CD-B的大小为45°； （2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直， 如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， M（1，0，0），N（1，1，1）， ∴ MN =（0，1，1）， ND =（-1，1，-1）， PD =（0，2，-2） 设 m =（x，y，z）是平面MND的一个法向量， 可得 m ? MN =y+z=0 m ? ND =-x+y-z=0 ，取y=-1，得x=-2，z=1， ∴ m =（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得 n =（0，1，1）是平面PCD的一个法向量， ∵ m ? n =-2×0+（-1）×1+1×1=0，∴ m ⊥ n ， 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD； （3）由（2）得 m =（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量， ∵ PD =（0，2，-2），得 PD ? m =0×（-2）+2×（-1）+（-2）×1=-4， ∴点P到平面MND的距离d= | PD ? m | |m| = 4 4+1+1 = 2 6 3 ．