Question

已知函数f（x）=4 x -2?2 x+1 -6，其中x∈[0，3]．（1）求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若实数a满足

已知函数f（x）=4 x -2?2 x+1 -6，其中x∈[0，3]．（1）求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若实数a满足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=4 x -2?2 x+1 -6（0≤x≤3） ∴f（x）=（2 x ） 2 -4?2 x -6（0≤x≤3）…（2分） 令t=2 x ， ∵0≤x≤3， ∴1≤t≤8． 令h（t）=t 2 -4t-6=（t-2） 2 -10（1≤t≤8）…（4分） 当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数． ∴f（x） min =h（2）=-10，f（x） max =h（8）=26…（8分） （2）∵f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立． ∴a≤f（x） min 恒成立． 由（1）知f（x） min =-10， ∴a≤-10． 故a的取值范围为（-∞，-10]…（14分）