Question

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e= 2 3 ，过点C（-1，0）的直线l

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e= 2 3 ，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足 AC =2 CB ．（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆E的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0），直线的方程为y=k（x+1） 由e= c a = 2 3 ∴a 2 =3b 2 故椭圆方程x 2 +3y 2 =3b 2                                  …（1分） 设A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）），由 AC =2 CB ， 得（-1-x 1 ，-y 1 ）=2（x 2 +1，y 2 ） 可得 x 1 +1=-2( x 2 +1)        …① y 1 =-2 y 2                    …② …（2分） 由 x 2 +3 y 2 =3 b 2 y=k(x+1) 消去y整理（1+3k 2 ）x 2 +6k 2 x+3（k 2 -b 2 ）=0（3分）                                由直线l与椭圆E相交于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两点? ∴ △=36 k 4 -4(3 k 2 +1)(3 k 2 -3 b 2 )＞0         …③ x 1 + x 2 =- 6 k 2 3 k 2 +1                                   …④ x 1 x 2 = 3 k 2 -3 b 2 3 k 2 +1                                     …⑤ …（4分） 而S△OAB= 1 2 |y 1 -y 2 |= 1 2 |-2y 2 -y 2 |= 3 2 |y 2 |= 3 2 |k（x 2 +1）|⑥…（6分） 由①④得：x 2 +1=- 2 3 k 2 +1 ，代入⑥得：S△OAB= 3|k| 3 k 2 +1 (k≠0)     …（7分） （Ⅱ）因S△OAB= 3|k| 3 k 2 +1 = 3 3|k|+ 1 |k| ≤ 3 2 3 = 3 2 ，…（8分） 当且仅当 k=± 3 3 ，S△OAB取得最大值，…（9分） 此时x 1 +x 2 =-1，又由①得 x 1 +2 x 2 3 =-1 ∴x 1 =1，x 2 =-2                                               …（10分） 将x 1 ，x 2 及k 2 = 1 3 代入⑤得3b 2 =5，满足△＞0                      …（11分） ∴椭圆方程为x 2 +3y 2 =5                                    …（12分）