Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90度．（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF．（4分）
∴△ABE∽△ADF．（5分）

（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
从而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，（8分）
∴AB=AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．（10分）