Question

已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，圆心O1在⊙O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点．求证

已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，圆心O1在⊙O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点．求证：DE⊥AC．

Answer 1

方法一：
证明：如图：
连接AB、作圆O₁的直径AF，连接FB，
∵AF为直径
∴∠BAF+∠AFB=90°
∵∠C=∠F，∠FAB=∠EDB
∴∠C+∠EDB=90°
∴DE⊥AC
方法二：
证明：如图：

连接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
∵AO₁=BO₁，
∴弧AO₁=弧BO₁，∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，
∴∠O₁CB=∠O₁BC；
∵A，B，D，O₁四点共圆，
∴∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
在△CDO₁和△ADO₁中

∠O1DC＝∠O1DA ∠DCO1＝∠DAO1 DO1＝DO1

，
∴△CDO₁≌△ADO₁；
∴AD=CD，∠ADO₁=∠CDO₁；
∴DE⊥AC．