Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC交AC于F．（1）求证：AE=AG；（2）若AD=8

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC交AC于F．（1）求证：AE=AG；（2）若AD=8，BD=6，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BG平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5（对顶角相等），
∴∠3=∠5，
∴AE=AG；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=

AD2+BD2

=

82+62

=10，
设AE=AG=x，
则DE=AD-AE=8-x，
∵∠1=∠2，∠BAG=∠BDE=90°，
∴△ABG∽△DBE，
∴

DE

AG

=

BD

AB

，
即

8?x

x

=

6

10

，
解得x=5，
故AE=5．