Question

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前{an}项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前{an}项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式．（2）令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和T．

Answer 1

（1）∵{a_n}是公比大于1的等比数列，
S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴

a1+a2+a3＝7 (a1+3)+(a3+4) 2 ＝3a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，
由a₂=2，得a1＝

2

q

，a₃=2q．
又S₃=7，知

2

q

+2+2q＝7，
即2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q2＝

1

2

，
由题意得q＞1，
∴q=2，∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）得a_3n+1=2³ⁿ
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2
又b_n+1-b_n=3ln2n
∴{b_n}是等差数列．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3ln2)

2

=

3n(n+1)

2

ln2．
故Tn＝

3n(n+1)

2

ln2．