Question

定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I?D）的任意两个数x1、x2都有f（x1+x22）≥12[f（x1）+f（x2）

定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I?D）的任意两个数x1、x2都有f（x1+x22）≥12[f（x1）+f（x2）]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数f（x）=-x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数f（x）=x2+ax在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设x₁，x₂是R上的任意两个数，则f(

x1+x2

2

)＝?(

x1+x2

2

)2，

1

2

[f(x1)+f(x2)]＝

1

2

(?x12?x22)…（1分）
∵f(

x1+x2

2

)?

1

2

[f(x1)+f(x2)]=?(

x1+x2

2

)2?

1

2

(?x12?x22)=

2x12+2x22?x12?x22?2x1?x2

4

＝

x12+x22?2x1?x2

4

＝

(x1?x2)2

4

≥0…（5分）
∴f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴函数f（x）=-x²在R上是“凸函数”…（6分）
（2）设x₁，x₂是

1，&2

上的任意两个数，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(x12+

a

x1

)+(x22+

a

x2

)]                        …（7分）
整理得(x1?x2)2a≤?

1

2

(x1?x2)2x1?x2(x1+x2)…（9分）
①若x₁=x₂，a可以取任何值                                            …（10分）
②若x₁≠x₂，a≤?

1

2

x1?x2(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈[1，2]，
∴?8≤?

1

2

x1?x2(x1+x2)≤?1，
∴a≤-8…（13分）
综上所述得a≤-8  …（14分）