Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量a＝(?p，0)平

如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量a＝(?p，0)平移得到直线l，N为l上的动点，M为抛物线弧AB上的动点．（Ⅰ） 若|AB|=8，求抛物线方程．（Ⅱ）求S△ABM的最大值．（Ⅲ）求NA?NB的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由条件知lAB：y＝x?

p

2

，则

y＝x? p 2 y2＝2px

，消去x得：x2?3px+

1

4

p2＝0①，则x₁+x₂=3p，
由抛物线定义|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线方程为y²=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和lAB：y＝x?

p

2

，设M(

y 2 0

2p

，y0)，
则M到AB距离：d＝

|? 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，因M，O在直线AB的同侧，所以?

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

＞0，
则d＝

2

2

(?

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)，即d＝

2

2

[?

1

2p

(y0?p)2+p]，
由①知A(

3?2 2

2

p，(1?

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1?

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，则当y₀=p时，dmax＝

2

2

p，
则(S△ABM)max＝

1

2

?4p?

2

2

p＝

2

p2．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）设N(x0，x0+

p

2

)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

NA