Question

如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽

如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q；（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F0，让它从磁场区1左侧边界处开始运动，当向右运动距离x02时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t；（3）对导体棒ab施加水平向右的拉力，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的拉力，使棒ab保持做匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q．

Answer 1

（1）电路中产生的感应电动势为：E＝

△Φ

△t

通过电阻R的电量为：q＝I△t＝

E△t

R

导体棒通过I区过程：△Φ=BLx₀
解得：q＝

BLx0

R

故导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量：q＝

BLx0

R

．
（2）设导体棒运动时速度为v₀，则产生的感应电流为：
I0＝

E

R

＝

BLv0

R

导体棒受到的安培力与水平向右的恒力F₀平衡，则
BI₀L=F₀
解得：v0＝

F0R

B2L2

设棒通过磁场去I在△t时间内速度的变化为△v，对应的位移为△x，则
F0?BIL＝m

△v

△t

△v＝

F0

m

△t?

B2L2

mR

v△＝

F0

m

△t?

B2L2

mR

△x
则∑△v＝

F0

m

∑△t?

B2L2

mR

∑△x
解得：t＝

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

故棒通过磁场区1所用的时间t＝

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

．
（3）设进入I区时拉力为F₁，速度v，则有：
F1x0＝

1

2

mv2 
 F1?

B2L2v

R

 ＝0
解得：F1＝

2B4L4x0

mR2

，v＝

2B2L2x0

mR

进入i区的拉力：Fi＝

2i2B4L4x0

mR2

．
导体棒以后通过每区域都以速度v做匀速运动，由功能关系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：Q＝

2 x 2 0 B4L4

mR2

(12+22+…n2)
故棒ab通过第i磁场区时的水平拉力的拉力：Fi＝

2i2B4L4x0

mR2

，棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q＝

2 x 2 0 B4L4

mR2

(12+22+…n2)．