设函数f(x)=lnx-x2+ax(a∈R).(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 已知A(x1,f(x1)),B(x2
设函数f(x)=lnx-x2+ax(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1≠x2)是函数f(x)在x∈[...
设函数f(x)=lnx-x2+ax(a∈R).(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1≠x2)是函数f(x)在x∈[1,+∞)的图象上的任意两点,且满足f(x1)?f(x2)x1?x2<2,求a的最大值;(Ⅲ) 设g(x)=xe1-x,若对于任意给定的x0∈(0,e],方程f(x)+1=g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根,求a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
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(Ⅰ) f′(x)=
?2x+a=
,
由f'(x)=0,得-2x2+ax+1=0,该方程的判别式△=a2+8>0,
可知方程-2x2+ax+1=0有两个实数根
,又x>0,故取x=
,
当x∈(0,
)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(
,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
则函数f(x)的单调递增区间是(0,
);递减区间是(
,+∞).
(Ⅱ)不妨设x1>x2≥1,不等式
<2转化为f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,
令φ(x)=f(x)-2x,可知函数φ(x)在区间[1,+∞)上单调递减,故φ'(x)=f'(x)-2≤0恒成立,
故
?2x+a?2≤0恒成立,即a≤2x?
+2恒成立.
当x∈[1,+∞)时,函数y=2x?
+2单调递增,故当x=1时,函数y=2x?
+2取得最小值3,则实数a的取值范围是a≤3,则实数a的最大值为3.
(Ⅲ)g'(x)=(1-x)e1-x,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)是增函数;当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)是减函数.可得函数g(x)在区间(0,e]的值域为(0,1].
令F(x)=f(x)+1,则F′(x)=f′(x)=
,
由F'(x)=0,结合(Ⅰ)可知,方程F'(x)=0在(0,∞)上有一个实数根x3,若x3≥e,则F(x)在(0,e]上单调递增,不合题意,
可知F'(x)=0在(0,e]有唯一的解x3=
,且F(x)在(0,
)上单调递增;在(
,+∞)上单调递减.
因为?x0∈(0,e],方程f(x)+1=g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根,所以F(e)≤0,且F(x)max>1.
由F(e)≤0,即lne-e2+ae+1≤0,解得a≤e?
.
由F(x)max=f(x3)+1>1,即lnx3?
+ax3+1>1,lnx3?
+ax3>0,
因为?2
+ax3+1=0,所以a=2x3?
,代入lnx3?
+ax3>0,得lnx3+
?1>0,
令h(x)=lnx+x2-1,可知函数h(x)在(0,e]上单调递增,而h(1)=0,则h(x3)>h(1)=0,
所以1<x3<e,而a=2x3?
在1<x3<e时单调递增,可得1<a<2e?
,
综上所述,实数a的取值范围是(1,e?
].
1 |
x |
?2x2+ax+1 |
x |
由f'(x)=0,得-2x2+ax+1=0,该方程的判别式△=a2+8>0,
可知方程-2x2+ax+1=0有两个实数根
a±
| ||
4 |
a+
| ||
4 |
当x∈(0,
a+
| ||
4 |
a+
| ||
4 |
则函数f(x)的单调递增区间是(0,
a+
| ||
4 |
a+
| ||
4 |
(Ⅱ)不妨设x1>x2≥1,不等式
f(x1)?f(x2) |
x1?x2 |
令φ(x)=f(x)-2x,可知函数φ(x)在区间[1,+∞)上单调递减,故φ'(x)=f'(x)-2≤0恒成立,
故
1 |
x |
1 |
x |
当x∈[1,+∞)时,函数y=2x?
1 |
x |
1 |
x |
(Ⅲ)g'(x)=(1-x)e1-x,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)是增函数;当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)是减函数.可得函数g(x)在区间(0,e]的值域为(0,1].
令F(x)=f(x)+1,则F′(x)=f′(x)=
?2x2+ax+1 |
x |
由F'(x)=0,结合(Ⅰ)可知,方程F'(x)=0在(0,∞)上有一个实数根x3,若x3≥e,则F(x)在(0,e]上单调递增,不合题意,
可知F'(x)=0在(0,e]有唯一的解x3=
a+
| ||
4 |
a+
| ||
4 |
a+
| ||
4 |
因为?x0∈(0,e],方程f(x)+1=g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根,所以F(e)≤0,且F(x)max>1.
由F(e)≤0,即lne-e2+ae+1≤0,解得a≤e?
2 |
e |
由F(x)max=f(x3)+1>1,即lnx3?
x | 2 3 |
x | 2 3 |
因为?2
x | 2 3 |
1 |
x3 |
x | 2 3 |
x | 2 3 |
令h(x)=lnx+x2-1,可知函数h(x)在(0,e]上单调递增,而h(1)=0,则h(x3)>h(1)=0,
所以1<x3<e,而a=2x3?
1 |
x3 |
1 |
e |
综上所述,实数a的取值范围是(1,e?
2 |
e |
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