Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+0.5c=b。

1。求角A的大小
2。若a=根号3，求三角形ABC的周长l的取值范围

Answer 1

这种问题多用正弦定理 余弦定理结合    希望您采纳

Answer 2

解：

（1）由正弦定理可得
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵acosC+0.5c=b
∴2RsinAcosC+0.5×2RsinC=2RsinB
即sinAcosC+0.5sinC=sinB
∵sinB=sin【180°-（A+C）】=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC+0.5sinC=sinAcosC+cosAsinC
∴0.5sinC=cosAsinC
∵sinC≠0
∴0.5=cosA
∵A∈（0，π）
∴A=60°
（2）由正弦定理可得
a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴b=asinB/sinA=√3×sinB/（√3/2）=2sinB
c=asinC/sinA=√3×sinC/（√3/2）=2sinC
∴三角形周长
=a+b+c
=1+2sinB+2sinC
=1+2（sinB+sinC）
=1+2【sinB+sin（A+B）】
=1+2（sinB+sinAcosB+cosAsinB）
=1+2（sinB+√3/2cosB+1/2sinB）
=1+2（3/2sinB+√3/2cosB）
=1+2√3（√3/2sinB+1/2cosB）
=1+2√3（1/2cosB+√3/2sinB）
=1+2√3（sin30°cosB+cos30°sinB）
=1+2√3sin（30°+B）
∵A=60°
∴B∈（0，120°）
∴30°+B∈（30°，150°）
即sin（30°+B）∈（1/2，1】
∴1+2√3sin（30°+B）∈（1+√3，1+2√3】
即三角形的周长范围为（1+√3，1+2√3】

Answer 3

a^2+b^2-c^2=2b(b-c/2)=2b^2-bc
b^2+c^2-a^2=bc
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
A=π/3
3=a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc>=(b+c)^2-3/4*(b+c)^2=(b+c)^2/4
b+c<=2√3，l=a+b+c<=3√3，
b+c>a=√3，l=a+b+c>2√3，
∴2√3<l=a+b+c<=3√3，l=a+b+c∈(2√3，3√3]