Question

AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交圆O于点F,

过点D作圆O的切线DE交AC于点E。
（1）若∠CFD=64°，求∠ABC的度数；
（2）求证：DE⊥AC

Answer 1

(2)
∵OA=OD=OB
∴∠BAD=∠ADO ∠ODB=∠B
∴∠BAD+∠ADO+∠ODB+∠B=180°
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°
∴∠ADC=∠ADB=90°
在△ ADB △ADC中
DB=DC
∠ADC=∠ADB=90°
AD是公共边
∴△ ADB ≌ △ADC
∴∠C=∠B ∠CAD=∠BAD=∠ADO

∵DE是的切线
∴OD⊥DE
∴ ∠ODE=∠ADO+∠ADE=90°
∴∠CAD+∠ADE=90°
∴∠AED=180°-∠CAD-∠ADE=90°
∴DE⊥AC

(1)
连接OF

∵OA=OF=OD=OB
∴△AOF △FOD都是等腰△
∠OFA=∠OAF ∠OFD=∠ODF

∵DE⊥AC ∠CFD=64°
∵∠EDF+∠CFD=90° ∠EDF+∠ODF=90°
∴∠ODF=∠CFD=64°
∴∠OFD=∠ODF=∠CFD=64°
∴∠OAF=∠OFA=180°-∠CFD-∠OFD=180°-64°-64°=52°
∴∠ABC=∠C=(180°-∠OAF)/2=(180°-52°)/2=64°

这是先证明DE⊥AC，后求∠ABC；

你也可先求求∠ABC，后证明DE⊥AC 。