Question

三重积分 求过程

Answer 1

　　设三元函数f（x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri（i=1，2,3.....n），体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f（ξi，ηi，ζi），作和式Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f（x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
　　设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即
　　∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做体积元素。
　　三重积分的性质:
　　性质1
　　∫∫∫kf（x，y，z）dv=k∫∫∫f（x，y，z）dv （k为常数）。
　　性质2
　　线性性质：
　　设α、β为常数，则∫∫∫[αf(x,y,z)±βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv±β∫∫∫g(x,y,z)]dv。
　　性质3

　　如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
　　性质4

　　如果在G上，且f(x,y,z）═1，v为G的体积，则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.
　　性质5

　　如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），则有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.
　　性质6

　　设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.
　　性质7（积分中值定理）

　　设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点（ζ，η，μ）使得
　　∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。
　　计算方法:
　　1、直角坐标系法
　　适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
　　⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
　　①区域条件：对积分区域Ω无限制；
　　②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
　　⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
　　①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
　　②函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。
　　2、柱面坐标法

　　适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
　　①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
　　②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。
　　3、球面坐标系法

　　适用于被积区域Ω包含球的一部分。
　　①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
　　②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。

Answer 2

柱面即(x-1)^2+y^2=1，它的极坐标方程是r=2cost。
积分区域是位于第一卦限的半圆柱体。
选用柱面坐标计算。
原式=∫〔0到π/2〕dt∫〔0到2cost〕rdr∫〔0到1〕z√rrdz
=1/2∫〔0到π/2〕dt∫〔0到2cost〕r^2dr
=8/6∫〔0到π/2〕(cost)^3dt
=4/3∫〔0到π/2〕【1-(sinx)^2】dsinx
=4/3【1-1/3】
=8/9。