Question

问一道初三数学题，难度较大，求详解

Answer 1

郭敦顒回答：
抛物线y=ax²+bx+c，a＞0，抛物线上三点为，A（－1，0），B（3，0），C（0，y₃），
3－（3+1）/2=1，对称轴x=1，对称轴交X轴于E（1，0）。
（1）顶点坐标为D（1，y₄）
将A（－1，0），B（3，0）的坐标值分别代入y=ax²+bx+c得，
a－b+ c=0 （1）
9a+3b+ c=0 （2）
3（1）+（2）得，12a+4c=0，c=－3a，
c=－3a代入（1）得，－2a－b=0，b=－2a
∴抛物线的方程为y=ax²－2ax－3a
D（1，y₄）代入y=ax²－2ax－3a得y₄=a－2a－3a=－4a
顶点坐标为D（1，－4a）。
（2）C（0，y₃）代入y=ax²－2ax－3a得，y₃=－3a
C点坐标为C（0，－3a），
AD交Y轴于F（0，y₆），OF是Rt⊿ADE的中位线，OF=|－4a/2|
F点坐标为F（0，－2a），请标记F点与坐标，不另绘图。
CF=|－3a+2a|=a
△ABC的底边AB=3+1=4，高OC=|－3a |=3a，
S△ABD=4×3a/2=6a
S△ACD= S△ACF+ S△BCF=（1+1）a/2= a，
△ACD与△ABC的面积比=a/6a=1/6。

Answer 2

（1）应该没问题吧，顶点公式都有，抛物线方程为y=ax²-2ax-3a(a＞0)，D（1，-4a）。
（2）C（0，-3a），△ABC的面积=6a，再就是△ACD的面积，麻烦一点了。设AD与y轴的交点为F，其实这个坐标可以马上写出来F（0，-2a），那△ACD的面积可以看做以CF为底，AE为高的三角形的面积，其值为a，则它们面积的比值显而易见为6a/a=6。
（3）C（0，-3），也就是说a=1，则抛物线方程为y=x²-2x-3。D（1，-4），则直线CD的方程为
y=-x-3，设M(m，m²-2m-3),那直线MN的方程为y=x+m²-3m-3，与CD方程联立可得：
N((-m²+3m-6)/2，(m²-3m)2)，因为∠CMN=∠BDE，∠MNC=∠DEB=90°可得△MNC∽△DEB
即(MN/NC)²=(DE/BE)²=2²=4，而MN²=2[(m²-m+6)/2]²，NC²=2[(m²-3m+6)/2]²，解之得m=2或m=3
所以符合题意的点M的坐标为(2，-3)和(3，0)。

Answer 3

(1)A(-1，0),B(3，0)代入解得
b=-2a,c=-3a
所以f(x)=ax^2-2ax-3a
E是AB中点，E(1,0),把x=1代入抛物线得顶点D(1，-4a）
（2）x=0代入抛物线得C(0，-3a).
ABC面积=6a
AC方程为2ax+y+2a=0,AC与y轴交于H,x=0时，得H(0，-2a)
三角形ACD面积=1/2.|CH|.|xd-xa|=a
【以后算面积就这样算，这样简单】
所以面积比=6比1.

Answer 4