Question

微积分，关于等价无穷小代换的问题 如图 这样做对不对，如果不对，为什么不能这么换呢？ 谢谢

Answer 1

是可以的！！！
lim<x→+∞>e^[x²*ln(1+1/x)]
=lim<x→+∞>e^ln[(1+1/x)]^(x²)
=lim<x→+∞>[1+(1/x)]^(x²)
=lim<x→+∞>{[1+(1/x)]^x}^x
=lim<x→+∞>e^x

Answer 2

如果是原题，可以这么换，
答案是+∞

追问

你好，原题如下。

谢谢

参考答案是1/2

追答

那就不能这么做了

追问

请问为什么呢

追答

ln(1+t)=t-1/2·t²+o(t²)
∴ln(1+1/x)=1/x-1/(2x²)+o(1/x²)
x²ln(1+1/x)=x-1/2+无穷小
所以，(1+1/x)^x²≈e^(x-1/2)
约分后，答案是e^(1/2)

Answer 3

有完整的题目吗

追答

极限不存在吧

追问

这是原题。标准答案是1/2，但我不知道这样做错在何处

追答

你等等，我写下

追问

对，这样的做法正是答案上所给的。像我那样做为什么会错呢？

追答

你的写法是错误的，因为分子分母是同时取极限的，你不能让分子不动，让分母先取极限

说错了

是等价无穷小只能在乘除法替换

你那个是在指数上

乘除法才能等价无穷小替换，我以前也犯过这种错误

追问

是吗，那么也就是说我最初问的，就是这幅图，是错的？

追答

这个可以这么变形就行了

极限符号移到指数部分

追问

恕我愚钝，这不也是在指数中用等价无穷小代换吗？

追答

不考虑e这个常数，指数部分就是乘法了

因为分子分母是同时取变化的

我第一个说法也是对的，记住等价无穷小用在乘除法就对了

张宇的高数视频有讲到

追问

好，谢谢！

Answer 4

若x是0呢 还有意义吗

追答

所以不能