Question

如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

同学卜行灶们型扮，解析带纯在视频中，

Answer 2

Answer 3

证法1：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴或敬洞C与C’在直线AC上
又∵C与C’在直线BD上，AC与BD相交
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与稿世C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴DE是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
证法3：运用向量证明
已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD
证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d
∵AD是BC的中线
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
展开括号，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
开方得|a|=2|d|，即BC=2AD
证法4：运用矩形的性质证明
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，∠BAC=90°
∴四边形ABEC是矩形
∴BC=AE=2AD
证法5：解析几何证明
以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）
|AD|=

|BC|=

=

=2|AD|

证法6：圆
作Rt△ABC外接圆
∵∠BAC=90°
∴BC是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）
∴D是圆心，AD是半径
∴BC=2AD
证法7：余弦定理
设三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。
∵a²+b²=c²，且d为斜边的中线，
∴对同一个角B，可得：
cosB=（a²+c²-b²）/2ac=（a²+1/4c²-d²）/ac
化简后为：a²-1/2c²+b²=2d²
∵a²+b²=c²，∴代入后可得：1/2c²=2d²，
d1=1/2c，d2=-1/2c（不合题意，舍去）
∴d=1/2c，命题得证。
证法8：反证法
假设 BD != AD
1： CD > AD =>∠CAD >∠DCA (三角形衫枯大边对大角）
BD > AD =>∠BAD >∠ABD
=>∠CAD+∠BAD >∠ABD+∠ACD
=>∠ABD+∠ACD <90°
=>CD > AD 不成立
2:
同理可得 CD <AD 也不成立
=> CD =AD

Answer 4

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。【证法1】延长AD到E,使DE=AD,连接CE。∵悄蠢陆AD是斜边BC的中线,∴BD=CD,又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等), AD=DE,∴△ADB≌△EDC(SAS),∴AB=CE,∠B=∠DCE,∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=90°,∴∠ACE=90°,∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,∴△ABC≌△CEA(SAS)∴BC=AE,∵AD=DE=1/2AE,∴AD=1/2BC。向左转|向右转【证法2】取AC的中点E,连接DE。∵AD是斜边BC的中线,∴BD=CD=1/2BC,∵E是AC的中点,∴DE是△档举ABC的中位线,∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)∴DE垂直平分AC,∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。向左转|向右转【证法3】延长AD到E,使DE=AD,连接启顷BE、

Answer 5

太复杂