Question

7、计算极限 lim(x→+∞) (∫（1→x）(t^2(e^(1/t)-1)-t)dt)/(x^2ln(1+1/x))

.

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

Answer 3

I=lim(x→+∞) {∫（1→x）(t^2(e^(1/t)-1)-t)dt)/[(x^2)•(1/x)]}
=lim(x→+∞) {x^2•[e^(1/x)-1]-x}
=lim(x→+∞) {x^2•[1+(1/x)^2+(1/x)^2+o(1/x)^2)-1]-x}
=lim(x→+∞) (x+1/2-x)=1/2
或
I=lim(x→+∞) (∫（1→x）(t^2(e^(1/t)-1)-t)dt)/xlim(x→+∞) {x^2•(e^(1/x)-1)-x} 令t=1/x
=lim(t→0) {(1/t)^2•(e^t-1)-(1/t)}
=lim(t→0) {[e^t-1)-t]/(t^2)}
=lim(t→0) [(e^t-1)/(2t)]
=lim(t→0) [t/(2t)]=1/2