Question

设随机变量X和Y相互独立，且服从同一分布，证明P(X小于等于Y)=1/2

Answer 1

X,Y互相独立
设X的密度函数为f(x),Y的密度函数为f(y)
它们的联合密度函数为f(x,y)=f(x)f(y)
f(y,x)=f(y)f(x)=f(x,y)
f(x,y)关于y=x对称
P(X<=Y)的区域是直线y=x的下侧
P(X<=Y)=积分f(x,y)dxdy=(1/2)整个平面的积分f(x,y)
P(X<=Y)=1/2

Answer 2

X,Y互相独立
设X的密度函数为f(x),Y的密度函数为f(y)
它们的联合密度函数为f(x,y)=f(x)f(y)
f(y,x)=f(y)f(x)=f(x,y)
f(x,y)关于y=x对称
P(X<=Y)的区域是直线y=x的下侧
P(X<=Y)=积分f(x,y)dxdy=(1/2)整个平面的积分f(x,y)
P(X<=Y)=1/2