齐次线性方程组只有零解和有非零解的意思是什么意思
零解：在微分方程理论中，指x(t)=0的解。讨论微分方程解得稳定性问题时，通常研究零解的稳定性。非零解：在微分方程理论中，指x(t)≠0
齐次线性方程组有非零解的条件
定理 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必 要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的 个数n。 推论1 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程 组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数 行列式等于零。 推论2 若在一个齐次线性方程组中， 方程的个数m小于未知量的个数n，那 么这个方程组一定有非零解。
齐次线性方程组只有零解的条件
矩阵的秩= 未知量的个数
系数矩阵列满秩
系数矩阵的列向量组线性无关满足以上三个条件中的一个就只有零解。
扩展资料：
齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组
定理4 对齐次线性方程组
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.
性质
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）
参考资料：齐次线性方程组-百度百科
齐次线性方程组只有零解说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）。齐次线性方程组有非零解即有无穷多解。
扩展资料：
1、常数项全为0的n元线性方程组
称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：
（1）当r=n时，原方程组仅有零解；
（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
2、判定定理
（1）定理1
齐次线性方程组 
（2）推论
齐次线性方程组
3、齐次线性方程求解步骤
（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.
参考资料：百度百科-齐次线性方程
在求解齐次方程组Ax=b的时候有一种方法：当系数矩阵A的行列式不为0时，其解可通过下述方法求解：
解的表达式为：X1=D1/D; X2=D2/D; ......; Xi=Di/D，此处D为A的行列式；Di表示用b取代D中的第i列元素之后所形成的新的矩阵的行列式，i为矩阵A的阶数。
扩展资料：
齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组
的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组
的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组
，若r(A)=r<n，则
存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.
参考资料：百度百科-齐次线性方程组
有非零解：即至少有一个未知数的值可以不为零。
齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解A的秩 小于未知数的个数n
°梢 2014-11-06
