Question

如图所示，已知抛物线y＝ x2 －1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. 在x轴下方的抛物线上是

如图所示，已知抛物线y＝ x2 －1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.

Answer 1

解：（1）令y=0，得x2-1=0，得x=±1         
        令x=0，y= -1 
       ∴A（-1，0）， B（1，0），C（0，-1）
（2）∵OA=OB=OC= 1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO= 45°  
    ∵AP∥CB，∴ ∠PAB= 45°  
    过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形
    令OE=a，则PE=a+1 ∴P（a，a+1）
   ∵点P在抛物线y=x2-1上  ∴a+1=a2-1
   解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍）
   ∴PE=3   ∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE
                                                    =
（3）假设存在  ∵∠PAB=∠BAC =45°∴PA⊥AC
   ∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC = 90°
   在Rt△AOC中，OA=OC=1   ∴AC=
   在Rt△PAE中，AE=PE=3    ∴AP=
   设M点的横坐标为m，则M （m，m2-1）
  ①点M在y轴左侧时，则m<-1
 (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时，有=
   ∵AG= -m-1，MG=m2-1
   即  解得m1= -1（舍），m2=（舍）
  (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=
  即  解得m1= -1（舍），m2= -2  ∴M（-2，3）
② 点M在y轴右侧时，m>1
 (ⅰ) 当△AMG∽△PCA时有=
  ∵AG=m+1 ，MG=m2-1   ∴ 
解得m1= -1（舍），m2=   ∴M（，）
 (ⅱ) 当△MAG∽△PCA时有=
  即  解得：m1= - 1（舍），m2=4  ∴M（4,15）
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
 M点的坐标为，，







追答

1)、由y=x2-1知A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）.
（2）、由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）可求出BC直线为y=x-1,从而设AP直线为y=x+b,将A（-1,0）代入得b=1,所以AP直线为y=x+1,
将y=x+1代入y=x2-1得P（2,3）或（-1,0）（舍去,因与A重合）,所以三角形APB的高h=3,
又由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）知AB=2,三角形ACB的高OC=1.
所以S四边形ACPB=S三角形APB+S三角形ABC=4.
（3）存在.
由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）,知AC=√2,BC=√2,AB=2,
根据勾股定理得三角形ACB为Rt三角形,且角ACB为直角,以AC垂直于BC,又因AP∥CB,即AP垂直于AC,所以三角形ACP为Rt三角形,且角PAC为直角,又由A（-1,0）、P（2,3）得AP=3√2.
根据y=x2-1设M（a,a2-1）,则MG=a2-1,AG=-1-a或AG=a+1,
又因MG⊥x轴,即角MGA=角PAC=直角,所以AP：MG=AC:AG,可求得符合条件的a=4
即M（4,15）.