Question

实数域上不可约多项式的类型有几种?

Answer 1

这个问题建议你查看一下北大版高等代数的第一章内容是有这个问题的介绍的，这个问题是很明确的只有两种：一次多项式（如ax+b，其中a，b不全为0）和二次的（如x^2+1等形式）。
对于实数域上的多项式仅有一次、二次不可约多项式的证明可销激以用归纳法来证明的：
1）对于n次多纯慎项式，当n=1,2时显然成立。
2）假设在当小于等于n-1时成立（第二归纳法）（n≥2)
3）当等于n时，如果n是奇数，由于奇次多项式总是有实数根的，此时多项式化为了n-1次的，根据归纳假设显然此时是成立的。
如果n为偶数，先将此偶次多项式在复数域上进行分解，我们知道复数根都是共轭出现的并且我们知道（x-z）(x-\bar{z})=x^2-|^2|为一个实数域中二次多项式。因此此时变为一个n-2次多项式了做斗敬，根据我们之前的归纳假设此时也是成立的。