Question

什么时候求极限可以用等价无穷小替换，是不是只有以下三种情况？另外第三种情况是什么意思？谢啦！

Answer 1

是啊丛郑。x趋于0时候，求极限，可以运用等价无穷小来求解。x趋于0时候，求f（x²/sin²x）也可以使用等价无穷小求解。x²和渗旅颂sin²x是等价无穷小，所以可以求得函数的极限。

等价无穷小：高数中常用于求x趋于0时候极限，当然，x趋于无穷的时候也可求，转化成倒数即成为等价无穷小。

拓展资料

常用等价无穷小：x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等镇蚂价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和e^x-1是等价无穷小；e^x-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；等价无穷小，可以用乘法，但是不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。

Answer 2

楼主求采纳~

当为乘积时可用等价无穷小代芹银换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x） tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知基巧道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时嫌锋宴候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x） 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x 因为o（x）是x的高阶无穷小 所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候 代换时加上高阶无穷小余项

追问

第三种情况是啥意思

追答

①等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的极限不是-n/m时，才可进行等价无穷小代换
②上各式中的x可以是f(x)也可以新变量t，如 f(x)→0，sin(f(x))~f(x)仍成立。

重要的等价无穷小
当x→0时，
arcsinx-x~x³/6
tanx-x~x³/3
x-arctanx~x³/3
tanx-sinx~x³/2
ex-1~x
(1+x)n -1~nx
x-ln(1+x)~x²/2

证明
条件：α和β都是无穷小，且α~α‘，β~β’，

存在（或

）
limα/β=lim（α/β·β’/α’·α’/β’）=limα/α’·limβ’/β·limα’/β’=limα’/β’[2]

可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

Answer 3

答： 用等价无穷小代换的大前提:用等价无行拿穷小代换的量必须它本身就是无穷小.原则:等价无穷小的代换,一定是要在乘除的情况谨乎下.对于加减的代换,必须是先进行极档晌搭限的四则运算后,才可以考虑

Answer 4

这个，其实第二个条件不谨厅绝者晌缺对，加减也行的，我刷到过好多都是加减做出来的题。我总结的规律是凡是加首辩减转换后等于0的基本不行，其他可以

Answer 5

必须都满足，（3）就是字面意思。
另外你可以选择完全不记等价无穷小而直接使用泰勒公式。