Question

什么时候求极限可以用等价无穷小替换，是不是只有以下三种情况？另外第三种情况是什么意思？谢啦！

Answer 1

是啊。x趋于0时候，求极限，可以运用等价无穷小来求解。x趋于0时候，求f（x²/sin²x）也可以使用等价无穷小求解。x²和sin²x是等价无穷小，所以可以求得函数的极限。

等价无穷小：高数中常用于求x趋于0时候极限，当然，x趋于无穷的时候也可求，转化成倒数即成为等价无穷小。

拓展资料

常用等价无穷小：x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和e^x-1是等价无穷小；e^x-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；等价无穷小，可以用乘法，但是不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。

Answer 2

楼主求采纳~

当为乘积时可用等价无穷小代换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x） tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x） 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x 因为o（x）是x的高阶无穷小 所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候 代换时加上高阶无穷小余项

追问

第三种情况是啥意思

追答

①等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换），比如mf(x)+ng(x),只有f(x)/g(x)的极限不是-n/m时，才可进行等价无穷小代换
②上各式中的x可以是f(x)也可以新变量t，如 f(x)→0，sin(f(x))~f(x)仍成立。

重要的等价无穷小
当x→0时，
arcsinx-x~x³/6
tanx-x~x³/3
x-arctanx~x³/3
tanx-sinx~x³/2
ex-1~x
(1+x)n -1~nx
x-ln(1+x)~x²/2

证明
条件：α和β都是无穷小，且α~α‘，β~β’，

存在（或

）
limα/β=lim（α/β·β’/α’·α’/β’）=limα/α’·limβ’/β·limα’/β’=limα’/β’[2]

可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

Answer 3

答： 用等价无穷小代换的大前提:用等价无穷小代换的量必须它本身就是无穷小.原则:等价无穷小的代换,一定是要在乘除的情况下.对于加减的代换,必须是先进行极限的四则运算后,才可以考虑

Answer 4

这个，其实第二个条件不绝对，加减也行的，我刷到过好多都是加减做出来的题。我总结的规律是凡是加减转换后等于0的基本不行，其他可以

Answer 5

必须都满足，（3）就是字面意思。
另外你可以选择完全不记等价无穷小而直接使用泰勒公式。