Question

设a、b、c>1,则logab+2logbc+4logca的最小值为多少？

不知从何入手，log后第一个字母是下标底数，第二个字母是上标真数。谢谢
一定要给出详细过程啊，不然不懂的。

Answer 1

因为a、b、c＞1
所以lgb＞0，lga＞0，lgc＞0
logab+2logbc+4logca
=lgb/lga+2lgc/lgb+4lga/lgc
=lgb/lga+2lgc/lgb+4lga/lgc
≥3[（lgb/lga）（2lgc/lgb）（4lga/lgc）]^(1/3)
=3*8^(1/3)
=3*2
=6
当且仅当lgb/lga=2lgc/lgb=4lga/lgc，即b=c=a^2时取等号
logab+2logbc+4logca有最小值6

Answer 2

=lgb/lga+2lgc/lgb+4lgc/lga
记x=lgb/lga，y=lgc/lgb,z=lga/lgb,
所以有xyz=1
故x+y+z>=3*(8xyz)^(1/3)=6.要求x=2y=4z,（因为x*2y*4z=8）即x=2y=4z=2.
答案为6