Question

高数，不定积分

Answer 1

(1)原式=x(ln(x+√(1+x^2)))^2-2∫ln(x+√(1+x^2))x/√(1+x^2)dx
=x(ln(x+√(1+x^2)))^2-2∫ln(x+√(1+x^2))d(√(1+x^2))
=x(ln(x+√(1+x^2)))^2-2ln(x+√(1+x^2))√(1+x^2)+2∫√(1+x^2)/√(1+x^2)dx
=x(ln(x+√(1+x^2)))^2-2ln(x+√(1+x^2))√(1+x^2)+2x
(2)原式=∫x^2arccosxd(-√(1-x^2))=-x^2arccosx√(1-x^2)+∫√(1-x^2)(2xarccosx-x^2/√(1-x^2))dx=-x^2arccosx√(1-x^2)-2/3∫arccosxd(1-x^2)^(3/2)-∫x^2dx
=-x^2arccosx√(1-x^2)-1/3x^3-2/3arccosx(1-x^2)^(3/2)-2/3∫(1-x^2)dx
=-x^2arccosx√(1-x^2)-1/3x^3-2/3arccosx(1-x^2)^(3/2)-2/3x+2/9x^3
=-x^2arccosx√(1-x^2)-1/9x^3-2/3arccosx(1-x^2)^(3/2)-2/3x

Answer 2

第一个，令x=tant,代入化简即出答案
第二个，令x=cost代入化简即出答案

追问

你试试啊

追答

就拿第二个给你演示一下，

令x=cost带入被积函数得
(cost)^3*arccos(cost)d(cost)
---------------------------------=-(cost)^3*tdt
sint
然后利用三倍角公式(cost)^3=(cos3t+3cost)/4代入化简得
=-(cos3t+3cost)tdt/4
这个被积函数拆成两部分(cos3t)t和(cost)t这样的被积函数显而易见直接弄个分部积分就出来了如(cost)tdt=td(sint)直接分部积分，过于简单，实在不忍写出余下步骤

追问

第二个我也会，主要是第一个

而且第二个不用这方法也行