Question

求问高数。(要有具体过程喔^_^) 求y"-2y'+2y=(e^x)cosx的待定特解。

Answer 1

特征方程 r^2-2r+2 = 0, r = 1±i，
则特解形式可设为 y = xe^x(Acosx+Bsinx)
得 y' = e^x(Acosx+Bsinx)+xe^x(Acosx+Bsinx)
+xe^x (Bcosx-Asinx)
= e^x(Acosx+Bsinx)+xe^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]
y'' = e^x(Acosx+Bsinx)+e^x(Bcosx-Asinx)
+e^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]+xe^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]
+xe^x[(B-A)cosx-(B+A)sinx]
= 2e^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]+2xe^x[Bcosx-Asinx]
代入微分方程, 得
2e^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]+2xe^x[Bcosx-Asinx]
-2e^x(Acosx+Bsinx)-2xe^x[(A+B)cosx+(B-A)sinx]
+2xe^x(Acosx+Bsinx) = e^xcosx
即 2e^x[Bcosx-Asinx] = e^xcosx
得 A = 0， B = 1/2
则特解为 y = (1/2)xe^x sinx
经验证正确。