Question

1/（1-x)(1-x^2)(1-x^3) 的x的n次项系数怎么求？？？？

如题 （1-x)(1-x^2)(1-x^3)是做分母
书上答案是（n+3)^2/12-7/72+(-1)^n/8+(2/9)*cos(2nπ/3）
π是指圆周率 不知道答案是怎么来的

Answer 1

应该还有个条件|x|<1吧
1/(1-x)
=1+x+x²+x³+...
1/(1-x²)
=1+x²+x^4+...
1/(1-x³)
=1+x³+x^6+...
原式=（1+x+x²+x³+...）*（1+x²+x^4+...）*（1+x³+x^6+...）
观察三个因式的幂次规律
0,1,2,3,4,5,6...n
0,2,4,6,8,10,12...2n
0,3,6,9,12,15,18...3n
为便于考虑，分n为奇数偶数考虑
n=2m的时候，由前两个因式相乘
得到x^2m项的系数是m+1（数学归纳法得到）
同理得到x^(2m+1)项的系数也是m+1
即这两个因式相乘后系数按升幂排序是
1，1，2，2，3，3，4，4，5，5
而再乘第三个因式的话
相当于这些系数依次向后挪三个位置（即乘以x³）
系数按升序排列表
1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...(前两个因式乘积)
0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,...(前两个因式乘积*x³)
0,0,0,0,0,0,1,1,2,2,3,3,...(前两个因式乘积*x^6)
由此可见，x^n的幂次n还应该按3个一组分类

n=3*2m时，系数是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m-2+3m-1)+3m+1；[m=0,1,2,3...]
n=3*2m+1时，系数是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m-2+3m)+3m+1；[m=0,1,2,3...]
n=3*2m+2时，系数是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)+3m+2；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)时，系数是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m+1+3m+2)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+1时，系数是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m+1+3m+3)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+2时，系数是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m+2+3m+3)；[m=0,1,2,3...]

整理得
n=6m，(3+6m-3)*m/2 + 3m+1 = 3m²+3m+1 = (6m+3)²/12 + 1/4
n=6m+1，(4+6m-2)*m/2 + 3m+1 = 3m²+4m+1 = (6m+4)²/12 - 1/3
n=6m+2，(5+6m-1)*m/2 + 3m+2 = 3m²+5m+2 = (6m+5)²/12 - 1/12
n=6m+3，(3+6m+3)*(m+1)/2 = 3m²+6m+3 = (6m+6)²/12
n=6m+4，(4+6m+4)*(m+1)/2 = 3m²+7m+4 = (6m+7)²/12 - 1/12
n=6m+5，(5+6m+5)*(m+1)/2 = 3m²+8m+5 = (6m+8)²/12 - 1/3
观察变形之后的式子，括号内的部分恰好是n+3
而括号外的部分以6为周期循环，相当于数列1/4 ,-1/3 ,-1/12 ,0 ,-1/12 ,-1/3 ,1/4 ...

则系数表达式里还含有三角函数才能构成周期性
而只含一个周期为6的三角函数的话，上面的数列不符合三角函数变化规律，必须用两个不同周期的三角函数线性组合，可以用周期为2的三角函数和周期为3的三角函数线性组合
设上述数列通项公式为acosnπ + bcos2nπ/3 + c
n=0, a + b + c = 1/4
n=1, -a - b/2 + c = -1/3
n=2, a - b/2 + c = -1/12
n=3, -a + b + c = 0
n=4, a - b/2 + c = -1/12
n=5, -a - b/2 + c = -1/3
解得a=1/8 ,b=2/9 ,c=-7/72
即上述数列通项公式为(cosnπ)/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72
再加上前面的(n+3)²/12
就得到系数表达式=(n+3)²/12 + (cosnπ)/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72
即(n+3)²/12 + (-1)^n/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72

Answer 2

x|<1吧
1/(1-x)
=1+x+x²+x³+...
1/(1-x²)
=1+x²+x^4+...
1/(1-x³)
=1+x³+x^6+...
原式=（1+x+x²+x³+...）*（1+x²+x^4+...）*（1+x³+x^6+...）
观察三个因式的幂次规律
0,1,2,3,4,5,6...n
0,2,4,6,8,10,12...2n
0,3,6,9,12,15,18...3n
为便于考虑，分n为奇数偶数考虑
n=2m的时候，由前两个因式相乘
得到x^2m项的系数是m+1（数学归纳法得到）
同理得到x^(2m+1)项的系数也是m+1
即这两个因式相乘后系数按升幂排序是
1，1，2，2，3，3，4，4，5，5
而再乘第三个因式的话
相当于这些系数依次向后挪三个位置（即乘以x³）
系数按升序排列表
1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...(前两个因式乘积)
由此可见，x^n的幂次n还应该按3个一组分类
n=3*2m时，系数是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)；[m=1,2,3...]
n=3*2m+1时，系数是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m-2+3m-1)+3m+1；[m=1,2,3...]
n=3*2m+2时，系数是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m-2+3m)+3m+1；[m=1,2,3...]
n=3*(2m+1)时，系数是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)+3m+2；[m=1,2,3...]
n=3*(2m+1)+1时，系数是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m+1+3m+2)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+2时，系数是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m+1+3m+3)；[m=0,1,2,3...]
n=6m，(5+6m-1)*m/2 = 3m²+2m
n=6m+1，(3+6m-3)*m/2 + 3m+1 = 3m²+3m+1
n=6m+2，(4+6m-2)*m/2 + 3m+1 = 3m²+4m+1
n=6m+3，(5+6m-1)*m/2 + 3m+2 = 3m²+5m+2
n=6m+4，(3+6m+3)*(m+1)/2 = 3m²+6m+3
n=6m+5，(4+6m+4)*(m+1)/2 = 3m²+7m+4