Question

求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的体积~

如题~还有什么是极轴？

Answer 1

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。

显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）
绕极轴旋转所称立体的体积微元：
dV=π*|y|^2*ds
ds=rdθ
y=rsinθ
所以
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同）
=π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）
=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)
=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]
=32π^2*a^3*7/256=7π^2*a^3/8

Answer 2

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。
显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形(0<θ<π)
绕极轴旋转所称立体的体积微元:
dV=π*|y|^2*ds
ds=rdθ
y=rsinθ
所以
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ
(积分限从0到π，下同)
=π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ
(令t=θ/2)
=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt]
(用华里士公式)
=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]
=32π^2*a^3*7/256=7π^2*a^3/8

Answer 3

考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πr*ds，r是该弧到极轴的距离：
r=rsinθ.
所以立体的侧面积就是：
2πrds的积分，把上面的r和ds代入，并利用条件代入r的表达式。
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,
并把它做为积分上限即可。
结果分别是：
(32πa^2)/3
和
6sqrt(3)πa^2